{"id":42,"date":"2018-08-19T12:26:22","date_gmt":"2018-08-19T12:26:22","guid":{"rendered":"https:\/\/www.melanie-platz.com\/?p=42"},"modified":"2025-06-04T14:44:54","modified_gmt":"2025-06-04T14:44:54","slug":"prim-e-proof","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/melanie-platz.com\/startseite\/uncategorized\/prim-e-proof\/","title":{"rendered":"Prim-E-Proof"},"content":{"rendered":"\n
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Ziel des Projektes:<\/h2>\n
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Das Projekt „Prim-E-Proof“ (Primary Education and an Electronic Proof System) verfolgt das Ziel, substanzielle Lernumgebungen mit digitalen Medien (OpenSource Applets auf Tablet PCs) zur Unterst\u00fctzung von Argumentations- und Beweisf\u00e4higkeiten in der Primarstufe zu generieren. Der Fokus des Projektes liegt darauf, Lehr- und Lernprozesse mit digitalen Lernumgebungen zu unterst\u00fctzen.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

Es soll ein Konzept zur Entwicklung von substanziellen Lernumgebungen zum pr\u00e4formalen Beweisen (Blum & Kirsch, 1991) abgeleitet werden (Designtheorie; siehe Forschungsdesign). Dabei werden mathematische (arithmetische) S\u00e4tze fokussiert, die in der Primarstufe pr\u00e4formal bewiesen werden k\u00f6nnen (z.B. mit Hilfe von Pl\u00e4ttchenmustern). Dabei kann beispielsweise Bezug auf die Lehre vom Geraden und Ungeraden (Buch IX der Elemente des Euklid) genommen werden und es k\u00f6nnten Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz in den Blick genommen werden. Im Sinne des Spiralprinzips k\u00f6nnte auch statt einer Pl\u00e4ttchendarstellung \u00fcber eine Darstellung der Produkte zweier Zahlen durch Fl\u00e4cheninhalte von Rechtecken nachgedacht werden, um \u00fcber eine Anwendung des Applets zum pr\u00e4formalen Beweisen bspw. des Distributivgesetzes f\u00fcr nat\u00fcrliche Zahlen den Zahlenraum auf reelle Zahlen erweitern zu k\u00f6nnen und so das Applet auch f\u00fcr die Themengebiete binomische Formeln und quadratische Gleichungen anwenden zu k\u00f6nnen.<\/span><\/p>\n

Zur Unterst\u00fctzung von Lehrpersonen sollen folgende Funktionen im Applet umgesetzt werden: Der handelnde Umgang mit dem Tablet PC kann durch das computergest\u00fctzte Tracking der Multi-Touch-Gesten der Kinder detektierbar gemacht und semiotisch ausgewertet werden. Huth (2013) stellt fest, dass insbesondere Gesten mindestens zeitweise die Funktion von eventuell aktuell nicht verf\u00fcgbaren oder nicht m\u00f6glichen Inskriptionen \u00fcbernehmen k\u00f6nnen. In einem Kooperationsprojekt mit der Goethe-Universit\u00e4t Frankfurt am Main wird dies untersucht. Die Ergebnisse dieser Untersuchung flie\u00dfen in die automatisierte Erfassung des handelnden Umgangs mit Lehr-Lernmaterialien, um u.a. ma\u00dfgeschneiderte Interaktivit\u00e4t f\u00fcr Sch\u00fcler*innen sowie eine sofortige Diagnosefunktion f\u00fcr die Lehrkraft anzubieten.<\/span><\/p>\n

Projektbeschreibung:<\/h2>\n

Ausgehend von der Hochschullehre sollte im Rahmen des Projektes „E-Proofs“ ein E-Proof-System als Beweispuzzle mit ungeordneten Beweisfragmenten, das durch falsche Beweisfragmente erg\u00e4nzt wird, umgesetzt werden (Platz et al., 2018). Im Rahmen einer Beobachtungsstudie stellte sich heraus, dass viele Studierende bei der Entwicklung einer Beweisidee scheiterten (vgl. auch (Grieser, 2015; G\u00f6tze, 2019). Bei der F\u00f6rderung der Entwicklung von Beweisideen sollte bereits in der Primarstufe angesetzt werden, da sich das Beweisen sonst f\u00fcr Lernende, wenn sie an weiterf\u00fchrenden Schulen oder an der Universit\u00e4t auf dieses sto\u00dfen, eher fremdartig und nicht wie eine nat\u00fcrliche Erweiterung ihrer fr\u00fcheren mathematischen Erfahrungen anf\u00fchlt, (Stylianides, 2016). Dies l\u00e4sst sich durch die Grundannahme „[…], dass ein Lernen ohne Br\u00fcche nur m\u00f6glich ist, wenn der Mathematikunterricht vom Kindergarten bis zum Abitur als zusammenh\u00e4ngendes Ganzes gesehen wird und wenn er stufen\u00fcbergreifend auf einem authentischen Bild von der Mathematik als ‚Wissenschaft der Muster‘ fu\u00dft“, (Wittmann, 2014, S.213) st\u00fctzen. Davon ausgehend entstand das Projekt „Prim-E-Proof“.<\/span><\/p>\n

Auf Basis einer empirischen Pilotstudie, die mit 23 Viertkl\u00e4sser*innen einer nordrhein-westf\u00e4lischen Grundschule durchgef\u00fchrt wurde, wurde die Lernenden- bzw. Nutzerperspektive beim Bearbeiten der ersten Version einer Lernumgebung rekonstruiert (Platz, im Druck a; Platz, angenommen; Platz & Schlicht, im Druck), um R\u00fcckschl\u00fcsse f\u00fcr die Weiterentwicklung dieser ziehen zu k\u00f6nnen. Im Zentrum stand die Aufgabenstellung „Wenn man zwei ungerade Zahlen miteinander addiert, erh\u00e4lt man immer eine gerade Zahl. Stimmt das? Begr\u00fcnde!“, (u. a. Platz, 2019a). Zur Bearbeitung verwendeten die Sch\u00fcler*innen das Wendepl\u00e4ttchen-Applet<\/a> (Platz, 2019b) auf einem Tablet PC pro Zweiergruppe. Es sollte die Entwicklung einer Beweisidee durch die Ann\u00e4herung an einen pr\u00e4formalen Beweis (Blum & Kirsch, 1991) angeregt werden. Scheinbar konnte noch kein Beweisbed\u00fcrfnis (Kothe, 1979) bei den Sch\u00fcler*innen geweckt werden, (u.a. Platz, im Druck), da die Sch\u00fcler*innen zwar Muster erzeugen konnten, diese aber nicht erkl\u00e4ren oder beschreiben konnten. Eine Betrachtung eines Musters als Ganzes kann nur in die Handlungen einer Zweiergruppe hineingedeutet werden. In einem Fall fand sogar eine Verweigerung der Aufgabe statt, da Pl\u00e4ttchen als „kindisch“ empfunden wurden.<\/span><\/p>\n

In einer weiterentwickelten Lernumgebung wird versucht ein Beweisbed\u00fcrfnis durch die Erzeugung von Relevanzerlebnissen (Kothe, 1979) anzuregen, um eine Verbindung der Selbstt\u00e4tigkeit der Sch\u00fcler*innen mit dem mathematischen Denken herzustellen. Um ein solches f\u00fcr die Sch\u00fcler*innen zu erzeugen, soll ein historischer Exkurs (Krauthausen, 2018) realisiert werden, um so die Lernumgebung in einen authentischen Kontext einzubetten. So kann ein Bezug zu den Herangehensweisen und Arbeitsmitteln der Pythagoreer, die Rechensteine zur Begr\u00fcndung arithmetischer Zusammenh\u00e4nge verwendeten, hergestellt werden.<\/span><\/p>\n

In einer neuen Version des Applets wurden Strukturierungshilfen (Walter, 2017) durch eine Gitterstruktur im Hintergrund sowie die M\u00f6glichkeit neben 1er-Pl\u00e4ttchen auch 2er-, 5er- oder 10er-Stangen zu verwenden, um dem Z\u00e4hlen entgegenzuwirken, implementiert. Pl\u00e4ttchen k\u00f6nnen gruppiert werden, Gruppierungen k\u00f6nnen gedreht und verschoben werden und gruppierte Pl\u00e4ttchen k\u00f6nnen wieder in Einer zerlegt werden. Die Funktion des automatisierten Bildens von Rechtecken aus den Pl\u00e4ttchen (mit ‚Nase‘ bei ungeraden Zahlen) erm\u00f6glicht eine st\u00e4rkere Passung zwischen Handlung und mentaler Operation (Walter, 2017). Diese neue Lernumgebung wurde mit einem Sch\u00fcler einer Tiroler Volksschule getestet. Es wurde deutlich, dass das Vorwissen der Sch\u00fcler*innen gro\u00dfen Einfluss auf die Beweist\u00e4tigkeiten dieser hat. Dieses soll in gezielten Vor\u00fcbungen zum Beweisen (Fischer, 2004) aufgegriffen und weiterentwickelt werden. Dadurch soll auch die Vernetzung der Darstellungsebenen unterst\u00fctzt werden, d. h. das Verst\u00e4ndnis daf\u00fcr, dass die Figurierung f\u00fcr alle ungeraden nat\u00fcrlichen Zahlen m\u00f6glich ist: die ikonische Darstellung muss f\u00fcr den Lerner symbolisch werden (Lambert, 2012).<\/span><\/p>\n

Forschungsdesign:<\/h2>\n

Um digitale Medien zugeschnitten auf Lernumgebungen gemeinsam mit diesen (weiter-)entwickeln zu k\u00f6nnen, wird eine Kombination aus Educational Design Research (u.a. Plomp, 2013; Hu\u00dfmann et al., 2013; Prediger et al., 2012) und Design Science Research in Information Systems (Drechsler & Hevner, 2016) betrieben. Das Anliegen von Design Science Research ist es, Probleml\u00f6sungen zu entwickeln und gr\u00fcndliche Bewertungen durchzuf\u00fchren, um das Wissen \u00fcber Design Sciences als Designtheorien zu kodifizieren. Design Science Research umfasst in der Regel die Erstellung eines Artefakts und\/ oder einer Designtheorie, um den aktuellen Stand der Praxis sowie das vorhandene Forschungswissen zu erweitern und zu optimieren. Design Science Research ist in erster Linie Forschung unter Verwendung von Design als Forschungsmethode oder -technik und wird definiert als Lernen durch das Erzeugen von Artefakten (u.a. Vaishnavi et al., 2019). Folgende Artefakte werden im Rahmen von Prim-E-Proof entwickelt (siehe Abb. 1):<\/span><\/p>\n

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Abb. 1: Artefakte, die im Rahmen von Prim-E-Proof entwickelt werden<\/span><\/p>\n

Design Science Research wird im vorliegenden Projekt auf den Bildungskontext zur Entwicklung einer Lernumgebung (Artefakt 1) \u00fcbertragen, indem das Four Cycle Modell (Drechsler & Hevner, 2016) mit dem Dortmunder Modell (Hu\u00dfmann et al., 2013; Prediger et al., 2012) kombiniert wird. Das Dortmunder Modell wird in eine Cycle View implementiert und durch den Change and Impact Cycle erweitert (siehe Abb. 2, um so eine Entwicklung von Lernumgebungen im Rahmen „guter“ Design Science Research zu unterst\u00fctzen, die nach Hevner (2007) nicht nur durch praktische Nutzbarkeit eines Artefakts ausgezeichnet ist, sondern auch durch die Synergie zwischen Relevanz und Sorgfalt und den Beitrag entlang Relevance Cycle und Rigor Cycle.<\/span><\/p>\n

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Abb. 2: Kombination des Four-Cycle-Modells (Drechsler & Hevner, 2016) und des Dortmunder Modells (u.a. Prediger et al., 2012) und Anwendung auf die Lernumgebung<\/span><\/p>\n

Zur Entwicklung der substanziellen Lernumgebungen werden u.a. Leitideen nach Wollring (2008) und Kriterien nach Wittmann (1995) beachtet. Ein Entscheidungsunterst\u00fctzungssystem zur Auswahl passender Apps f\u00fcr den Mathematikunterricht der Grundschule (Platz, 2019c) kann unterst\u00fctzend bei der didaktischen Reflexion von digitalen Medien eingesetzt in Lernumgebungen wirken, da sich das Potenzial digitaler Medien nur dann entfalten kann, wenn diese inhaltlich sinnvoll und didaktisch reflektiert eingesetzt werden (Platz, 2019c). Um die Wirksamkeit der entwickelten Lernumgebungen zu untersuchen, werden Collective Case Studies (u.a. Stake, 2008) mit der Fragestellung, welche epistemischen Aktionen in den Argumentations- und Beweist\u00e4tigkeiten der Sch\u00fcler*innen erkennbar werden, durchgef\u00fchrt. Abstraction in Context (Dreyfus & Kidron, 2014) wird dabei zur Datenanalyse angewendet. Abstraction in Context stellt Werkzeuge bereit, mit denen R\u00fcckschl\u00fcsse auf die Denkprozesse der Lernenden gezogen werden k\u00f6nnen und versucht eine Br\u00fccke zwischen kognitiven und lokalisierten Abstraktionstheorien sowie zwischen konstruktivistischen und aktivit\u00e4tsorientierten Ans\u00e4tzen zu schlagen (Dreyfus & Kidron, 2014). Zur Darstellung des Argumentationsprozesses wird ein Schema verwendet, welches u.a. an Toulmin (1958) orientiert ist. Um den gesamten Prozess der Argumentation und der Beweisentwicklung erfassen zu k\u00f6nnen, wurde dieses durch die Darstellung der Widerlegung von Argumenten sowie die Struktur des Argumentationsprozesses erweitert (Platz, 2019a; Platz & Schlicht, im Druck).<\/span><\/p>\n

Durch die generische Konzeption des Prototypen sowie das Zurverf\u00fcgungstellen als OpenSource und OpenContent, kann dieser sowohl international als auch in verschiedenen Bildungskontexten (z.B. im Schulkontext, im Lehramts- oder Ingenieurstudium, etc.) eingesetzt werden.<\/span>
In der Lehramtsausbildung k\u00f6nnte dieses Projekt u.a. durch die eigenst\u00e4ndige Konzeption von Lernumgebungen mit digitalen Medien zur Unterst\u00fctzung von Argumentations- und Beweisf\u00e4higkeiten (u.a. in der Primarstufe) im Rahmen von Seminaren wie bspw. Fachdidaktischen Erg\u00e4nzungen oder Vertiefungen aufgegriffen werden. Diese Lernumgebungen k\u00f6nnten bspw. in Kooperation mit Studierenden der Informatik programmiertechnisch als OpenSource Applets auf Tablet PCs umgesetzt und unterrichtspraktisch getestet und evaluiert werden. <\/span>
Die Umsetzung muss nicht auf OpenSource Applets auf Tablet PCs beschr\u00e4nkt bleiben: Es k\u00f6nnten Lernumgebungen, die geometrische Beweise behandeln, beispielweise mittels (digitalen) additiven Fertigungstechnologien (3D-Druck) umgesetzt werden.<\/span><\/p>\n

Der 3D-Druck kann dabei ein besonderes Potenzial bez\u00fcglich Beweisen zur r\u00e4umlichen Geometrie aussch\u00f6pfen.<\/span>
Ferner k\u00f6nnten Arbeitsmittel mit Hilfe des 3D-Drucks durch die Studierenden f\u00fcr ihre Lernumgebungen erstellt werden. Auch der Einsatz von CAD-Software durch Sch\u00fcler*innen k\u00f6nnte in die Lernumgebungen implementiert werden, um so in der CAD-Software erstellte (zweidimensional dargestellte) Elemente im dreidimensionalen Raum auszudrucken.<\/span><\/p>\n

Angelehnt ist dieses Konzept an das „Lernen durch Lehren“, da die Studierenden sich durch die Entwicklung von Lernumgebungen zu bestimmten Beweisen selbst sowohl fachlich als auch didaktisch mit dem jeweiligen Beweis auseinandersetzen m\u00fcssen und ein tiefgreifendes Beweisverst\u00e4ndnis entwickeln m\u00fcssen, um eine Lernumgebung erstellen zu k\u00f6nnen.<\/span><\/p>\n

Sogar auf den Einsatz in Entwicklungsl\u00e4ndern k\u00f6nnten solche Lernumgebungen, die im Rahmen von Prim-E-Proof erstellt werden, \u00fcbertragen werden. Dies ist sehr wichtig, da in solchen L\u00e4ndern von vielen Einwohnern die Grundschule meist die einzige Schulform ist, die besucht wird und Argumentationskompetenzen sowie logisches Schlussfolgern in vielen f\u00e4cher\u00fcbergreifenden Kontexten f\u00fcr ein erfolgreiches Leben – in Entwicklungsl\u00e4ndern in Risikosituationen im gravierendsten Fall sogar f\u00fcr das \u00dcberleben – essentiell sind.<\/span><\/p>\n

Literatur<\/h2>\n
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  • Blum, W., & Kirsch, A. (1991). Preformal proving: Examples and reflections. Educational Studies in Mathematics, 22<\/em>(2). New York: Springer Publishing Company, 183–203.<\/span><\/li>\n
  • Drechsler, A., & Hevner, A. (2016). A four-cycle model of IS design science research: capturing the dynamic nature of IS artifact design. In Breakthroughs and Emerging Insights from Ongoing Design Science Projects: Research-in-progress papers and poster presentations from the 11th International Conference on Design Science Research in Information Systems and Technology (DESRIST) 2016.<\/em> St. John, Canada, 23-25 May. DESRIST 2016.<\/span><\/li>\n
  • Dreyfus, T., & Kidron, I. (2014). Introduction to abstraction in context (AiC). In A. Bikner-Ahsbahs, & S. Prediger (Eds.), Networking of theories as a research practice in mathematics education<\/em> (pp. 85–96). Cham: Springer.<\/span><\/li>\n
  • Fischer, H., & Malle, G. (2004). Mensch und Mathematik. Eine Einf\u00fchrung in didaktisches Denken und Handeln.<\/em> Wien: Profil.<\/span><\/li>\n
  • G\u00f6tze, D. (2019). Arithmetisches Verst\u00e4ndnis bei Grundschulstudierenden f\u00f6rdern – Konzeptionelles und Beispiele aus dem Projekt „Arithmetik digital“. In R. Rink, & D. Walter (Hrsg.), Beitr\u00e4ge zum 5. Band der Reihe „Lernen, Lehren und Forschen mit digitalen Medien“. Digitale Medien in der Lehreraus- und -fortbildung von Mathematiklehrkr\u00e4ften – Konzeptionelles und Beispiele<\/em> (S. 115–132). M\u00fcnster: WTM-Verlag.<\/span><\/li>\n
  • Grieser, D. (2015). Mathematisches Probleml\u00f6sen und Beweisen: Entdeckendes Lernen in der Studieneingangsphase. In J. Roth, T. Bauer, H. Koch, & S. Prediger (Hrsg.), \u00dcberg\u00e4nge konstruktiv gestalten<\/em> (S. 87–102). Wiesbaden: Springer.<\/span><\/li>\n
  • Hevner, A. R. (2007). A three cycle view of design science research. Scandinavian journal of information systems, 19<\/em>(2), 4, 1–6.<\/span><\/li>\n
  • Hu\u00dfmann, S., Thiele, J., Hinz, R., Prediger, S., & Ralle, B. (2013). Gegenstandsorientierte Unterrichtsdesigns entwickeln und erforschen – Fachdidaktische Entwicklungsforschung im Dortmunder Modell. In M. Komorek, & S. Prediger (Hrsg.), Der lange Weg zum Unterrichtsdesign: Zur Begr\u00fcndung und Umsetzung genuin fachdidaktischer Forschungs- und Entwicklungsprogramme<\/em> (S. 25–42). M\u00fcnster: Waxmann.<\/span><\/li>\n
  • Huth, M. (2013).Mathematische Gestik und Lautsprache von Lernenden. In G. Greefrath, F. K\u00e4pnick, & M. Stein (Hrsg.), Beitr\u00e4ge zum Mathematikunterricht 2013<\/em> (S. 492–495). M\u00fcnster: WTM-Verlag.<\/span><\/li>\n
  • Kothe, S. (1979). Gibt es Entwicklungsm\u00f6glichkeiten f\u00fcr ein Beweisbed\u00fcrfnis in den ersten Schuljahren? In W. D\u00f6rfler, & R. Fischer (Hrsg.), Beweisen im Mathematikunterricht: Vortr\u00e4ge des 2. Internationalen Symposiums f\u00fcr „Didaktik der Mathematik“ von 26.9. bis 29.9. 1978 in Klagenfurt<\/em> (S. 275–282). Wien: Verlag H\u00f6lder-Pichler-Tempsky.<\/span><\/li>\n
  • Krauthausen, G. (2018). Einf\u00fchrung in die Mathematikdidaktik – Grundschule.<\/em> Berlin: Springer.<\/span><\/li>\n
  • Lambert, A. (2012). Was soll das bedeuten?: Enaktiv-ikonisch-symbolisch. Aneignungsformen beim Geometrielernen. In A. Filler, & M. Ludwig (Hrsg.), Vernetzungen und Anwendungen im Geometrieunterricht. Ziele und Visionen 2020<\/em> (S. 5–32). Hildesheim: Franzbecker.<\/span><\/li>\n
  • Platz, M. (2019a). Learning environments applying digital learning tools to support argumentation skills in primary school: first insights into the project. In U. T. Jankvist, M. van den Heuvel-Panhuizen, & M. Veldhuis (Eds.), Proceedings of the Eleventh Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME11, 6.-10.2.2019)<\/em> (pp. 2908–2915). Utrecht, Netherlands: Freudenthal Group, in <\/span>collaboration with the Freudenthal Institute, Utrecht University & ERME.<\/span><\/li>\n
  • Platz, M. (2019b). Das Wendepl\u00e4ttchen-Applet – Potenziale und Grenzen eines Einsatzes in Lernumgebungen f\u00fcr den Primarstufenbereich. In G. Pinkernell, & F. Schacht (Hrsg.), Digitales Lernen im Mathematikunterricht. Arbeitskreis Mathematikunterricht und digitale Werkzeuge in der Gesellschaft f\u00fcr Didaktik der Mathematik<\/em> (S. 121–132). Hildesheim: Franzbecker.<\/span><\/li>\n
  • Platz, M. (2019c). Vorstellung eines Entscheidungsunterst\u00fctzungssystems zur Auswahl passender Apps und Applets f\u00fcr den Mathematikunterricht der Grundschule. In R. Rink, & D. Walter (Hrsg.), Beitr\u00e4ge zum 5. Band der Reihe „Lernen, Lehren und Forschen mit digitalen Medien“. Digitale Medien in der Lehreraus- und -fortbildung von Mathematiklehrkr\u00e4ften – Konzeptionelles und Beispiele<\/em> (S. 167–182). M\u00fcnster: WTM-Verlag.<\/span><\/li>\n
  • Platz, M. (im Druck). Lernumgebungen mit digitalen Medien zur Unterst\u00fctzung von Argumentations- und<\/span>
    Beweiskompetenzen in der Primarstufe – Der aktuelle Stand des Projektes „Prim-E-Proof“. In B. Brandt, L. Br\u00f6ll, & H. Dausend (Hrsg.), Digitales Lernen in der Grundschule II. Aktuelle Trends in Forschung und Praxis.<\/em> M\u00fcnster: Waxmann Verlag.<\/span><\/li>\n
  • Platz, M. (angenommen). Abstraction in Context zur Optimierung einer Lernumgebung zum pr\u00e4formalen <\/span>Beweisen mit digitalen Medien in der Primarstufe. In Beitr\u00e4ge zum 6. Band der Reihe „Lernen, Lehren und Forschen mit digitalen Medien.“<\/em> M\u00fcnster: WTM-Verlag.<\/span><\/li>\n
  • Platz, M., Krieger, M., Niehaus, E., & Winter, K. (2018). Suggestion of an E-proof Environment in Mathematics Education. In D. R. Thompson, M. Burton, A. Cusi, & D. Wright (Eds.), ICME 13 Monographs – Classroom Assessment in Mathematics: Perspectives from around the Globe<\/em> (pp. 107–120). Cham: Springer.<\/span><\/li>\n
  • Platz, M. & Schlicht, S. (im Druck). Enhancing Childrens‘ Argumentation Skills in Primary Schools using Digital Learning Tools – Interpretative Analysis of a first draft Learning Environment. In ICTMT14 Conference Proceedings. 14th International Conference on Technology in Mathematics Teaching, 22.-25.07.2019 in Essen.<\/em> DuEPublico Repostitory, Universit\u00e4tsbibliothek Duisburg-Essen.<\/span><\/li>\n
  • Plomp, T. (2013). Educational design research: An introduction. In T. Plomp & N. Nieveen (Hrsg.), Educational<\/em><\/span>
    Design Research<\/em> (pp. 11–50). Netzodruk, Enschede: SLO – Netherlands institute for curriculum development.<\/span><\/li>\n
  • Prediger, S., Link, M., Hinz, R., Hu\u00dfmann, S., Thiele, J., & Ralle, B. (2012). Lehr-Lernprozesse initiieren und erforschen – Fachdidaktische Entwicklungsforschung im Dortmunder Modell. MNU 65<\/em>(8), 452–457.<\/span><\/li>\n
  • Stake (2008) Case Studies. In Denzin, N. K., & Lincoln, Y. S. (Eds.). Strategies of qualitative inquiry<\/em> (Vol. 2) (pp. 134 — 164. Thousand Oaks: Sage.<\/span><\/li>\n
  • Stylianides, A. J. (2016). Proving in the elementary mathematics classroom.<\/em> Oxford: Oxford University Press.<\/span><\/li>\n
  • Toulmin, S. E. (1958). The Uses of Argument.<\/em> Cambridge: Cambridge University Press (2003).<\/span><\/li>\n
  • Vaishnavi, V., Kuechler, W., & Petter, S. (2019). Design Science Research in Information Systems.<\/em> January 20, 2004 (created in 2004 and updated until 2019 by Vaishnavi, V. and Kuechler, W.). Verf\u00fcgbar unter http:\/\/www.desrist.org\/design-research-in-information-systems\/.<\/span><\/li>\n
  • Walter, D. (2017). Nutzungsweisen bei der Verwendung von Tablet-Apps.<\/em> Cham: Springer.<\/span><\/li>\n
  • Wittmann, E. (1995). Unterrichtsdesign und empirische Forschung. In K. P. M\u00fcller (Hrsg.), Beitr\u00e4ge zum Mathematikunterricht<\/em> (S. 528–531). Hildesheim.<\/span><\/li>\n
  • Wittmann, E. (2014). Operative Beweise in der Schul- und Elementarmathematik. mathematica didactica<\/em>, 37, 213–232.<\/span><\/li>\n
  • Wollring, B. (2008). Zur Kennzeichnung von Lernumgebungen f\u00fcr den Mathematikunterricht in der Grundschule. In Kasseler Forschergruppe (Hrsg.), Lernumgebungen auf dem Pr\u00fcfstand. Bericht 2 der Kasseler Forschergruppe Empirische Bildungsforschung Lehren – Lernen – Literacy<\/em> (S. 9–26). Kassel: kassel university press GmbH.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n

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